Análisis de la curva de brillo de HD189733

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Durante el verano de 2007 observamos el tránsito del exoplaneta HD189733b, Enrique Arce, Juan Hernández y Ángel Flores. En esencia, la observación consiste en tomar imágenes sucesivas de la estrella a intervalos regulares, en nuestro caso una imagen por minuto. Sobre la observación, instrumental método de obtención de la curva de luz, etc. dimos cuenta en un artículo de Enrique Arce, publicado en el número 201 de Rigel, septiembre-octubre de 2007.

Sobre La curva de brillo obtenida por Enrique Arce se observan dos pequeños incrementos de brillo antes del comienzo del tránsito y después del fin del mismo, otras curvas publicadas de exoplanetas muestran pequeños incrementos similares. Me pareció curioso indagar sobre las causas de este incremento. El primer paso, que será objeto de este artículo, es establecer las dimensiones del sistema estrella y planeta, describiendo paso a paso el cálculo de los parámetros más importantes del sistema. En la segunda parte publicaremos mi hipótesis sobre el pequeño incremento de brillo observado.

La denominación general para los exoplanetas consiste en el número de la estrella alrededor de la cual giran, seguido de una letra minúscula que se asigna por orden de descubrimiento, comenzando por la “b” para el primer planeta descubierto en una estrella, la “c” para el segundo, etc. La “a” se reserva para la estrella. En la actualidad la estrella con la mayor corte de planetas es 55 Cancri con cinco planetas a su alrededor, descubierto el primero en 1996.

Para determinar las dimensiones del conjunto, el primer paso es localizar los datos de la estrella, que figuran el algún catálogo. He elegido el Hipparcos y estos son los que figuran en el:

Magnitud V de Johnson: 7,67Imagen de HD 189733 y la estrella de referencia

Magnitud BT: 8,865

Magnitud VT: 7,788

Tipo espectral: G5

Indice de color B-V: 0,932

Distancia: 19,25 ±0,32 Pc

Diámetro de la estrella

Con estos datos podemos comenzar por calcular la magnitud absoluta, que es la magnitud que mostraría la estrella si estuviese a la distancia de 10 parsecs La magnitud absoluta permite comparar directamente el brillo de dos estrellas independiente de la distancia a la que se encuentran, ya que se calcula como si estuviesen a 10 parsecs. En nuestro caso será el paso inicial para determinar el diámetro de la estrella.

Para el cálculo solo necesitamos la magnitud aparente y distancia, empleamos la fórmula:

[1]

Donde “M” es la magnitud absoluta, “m” la magnitud aparente y “d” la distancia

Sustituimos los datos del catálogo en la fórmula y calculamos la magnitud absoluta.


Para hallar el diámetro de la estrella utilizamos la relación entre el área de la misma, la temperatura y la luminosidad. En 1879 el austriaco Josef Stefan estableció a través de la observación, que la luminosidad de una estrella es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura. Posteriormente su compatriota Ludwing Boltzman llegó matemáticamente a la misma conclusión y enunció la constante de proporcionalidad, enunciando la siguiente ecuación.

[2]

Donde K es la constante del Boltzman 1,38x10-23 julios x kelvin, D es el diámetro de la estrella y T la temperatura. Podríamos utilizar la constante de Stefan-Blotzman y las unidades del Sistema Internacional para calcular el diámetro, en ese caso obtendríamos el resultado en candelas, una unidad poco cómoda para medir la luminosidad de una estrella. Resulta más cómodo emplear el sol como unidad de referencia y obtener el diámetro de la estrella en diámetros solares. El factor (PI/4) es una constante y lo podemos denominar C. En este caso podemos transformar la fórmula anterior en:

[3]

Si tomamos el Sol como unidad, su luminosidad será 1 y su diámetro 1, la temperatura del sol es 5300K, de ahí deducimos el valor de C que será:

[4]

Para aplicar la fórmula comenzamos calculando la diferencia de luminosidad entre el sol y la estrella HD189733. Sabemos que una diferencia de una magnitud representa un incremento de brillo de 2,512, por tanto la diferencia de luminosidad entre dos estrellas es igual a 2,512 elevado a la diferencia de magnitudes.

Tomando la magnitud absoluta del Sol igual a 4,8 y la de HD189733 igual a 6,2 la diferencia entre ambas es de -1,4 magnitudes.

El siguiente paso es determinar la temperatura de la estrella, lo cual se deduce de la clase espectral de la estrella, en nuestro caso G5 y de su índice de color -0,932. El índice de color es la diferencia de magnitud de una estrella medida con dos filtros de diferente color, por ejemplo azul y amarillo. Para una clase espectral el índice de color muestra de qué tipo de estrella se trata, gigante, enana, etc. Con estos dos datos podemos buscar en las tablas de espectros y tomar como temperatura efectiva para una estrella con estas características 4.900K.

Para calcular el diámetro podemos utilizar la fórmula [3], despejamos de ella el diámetro y se transforma en la siguiente.

En esta hemos sustituido L por el valor de la luminosidad relativa al Sol, C que lo hemos calculado en [4] y la temperatura tomada de las tablas. Operando obtenemos el valor del diámetro de la estrella.

Duración del tránsito

curva hd189733

El tiempo de tránsito lo deducimos de la gráfica obtenida de la variación de brillo de la estrella debida al tránsito del exoplaneta. En la esquina inferior izquierda de la gráfica se muestra el día juliano al que corresponde el tránsito, cabe recordar que el día juliano comienza a las 12 horas T.U.
El tiempo se expresa en fracciones de día en lugar de horas y minutos. El inicio del transito corresponde al instante en que comienza a decrecer la luminosidad, que sucede en el instante t1, y que corresponde a 0,366 días. Finaliza el tránsito en el instante 0,438 (t4) por tanto el tránsito dura 0,072 días. Puesto que el día juliano comienza al medio día civil, el instante de comienzo corresponde a 20h 47m. El final se produce en el instante t4 que corresponde a las 22h 27m. La duración del tránsito es de 1h 40m. El periodo orbital es de 2,21758 días, lo obtenemos de los datos publicados para el planeta.

Diámetro de la órbita

Si el tránsito del planeta por delante de la estrella se produce en 0,072 días podemos deducir que ha recorrido un espacio igual al diámetro de la estrella en dicho tiempo. Por tanto la velocidad del planeta se puede obtener dividendo el diámetro de la estrella por el tiempo de tránsito.

[5]

Para calcular la longitud de la órbita no tenemos más que multiplicar la velocidad del planeta por el tiempo que necesita para dar una vuelta completa. Sabiendo que el tiempo transcurrido entre dos tránsitos consecutivos es de 2,21758 días, la longitud de la órbita será igual a:

[6]

El diámetro de la órbita será: 26.272.163 km / pi = 8.362.689 km.

Diámetro del planeta

Nos falta deducir el diámetro del planeta, para lo cual nos servimos de nuevo de la curva de luz. El tiempo transcurrido entre t1 y t2 es el que tarda el planeta en ingresar delante de la estrella. Esto lo deducimos por que es el tiempo de descenso del brillo, una vez el planeta está delante de la estrella el brillo es prácticamente constante.

Conociendo la velocidad del planeta, hallada en el apartado anterior y el tiempo que tarda en ingresar este delante de la estrella, el diámetro será el producto de ambas cantidades. El tiempo transcurrido entre t1 y t2 es igual a 0,016 días y su velocidad 11.847.222 km/día.

[7]

Por tanto el diámetro del planeta HD189733b es 189.555 km. Lo que representa un planeta algo mayor que júpiter, cuyo diámetro es de 142.000 km. Con los valores obtenidos podemos dibujar el sistema con la escala correcta, figura 2

La relación entre el disco de la estrella y el disco del planeta es igual al cociente entre las superficies de ambos cuerpos.

[8]

Por tanto las superficie de la estrella es 20 veces mayor que la del planeta, ambos astros son comparables. Si comparamos las superficies del Sol y de Júpiter, de igual forma, obtendríamos que la superficie del Sol es 94 veces mayor que la de Júpiter. El conjunto HD189733 y su planeta forman un par más equilibrado en sus superficies y además mucho más próximos, clave en la influencia del planeta en la curva de luz.

En la segunda parte del artículo analizaremos el comportamiento del sistema desde el punto de vista del brillo observado desde la Tierra, y la hipótesis sobre el incremento del mismo antes y después del tránsito.

Glosario

Exoplaneta: Planeta que gira alrededor de otra estrella distinta del Sol.

Magnitud aparente: Brillo que muestra relativo a la escala de Pogson.

Luminosidad: energía luminosa emitida por toda la estrella.

Bibliografía

Curso de Astronomía General

P.I. Bakulin, E.V. Kononovich, V.I. Moroz / Ed. Mir

Astronomía Fundamental

V.J. Martínez, J.A. Miralles, E. Marco.

Las medidas del Universo

Tomás Hormigo / Museo de las Ciencias

Diccionario de Astronomía

Ian Ridpath / Editorial Complutense

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